II . FONCTIONS NUMERIQUES

Le programme est organisé autour des objectifs suivants :
- exploiter la dérivation pour l’étude locale et globale des fonctions ;
- progresser dans la maîtrise des fonctions indiquées dans le programme ;
- mettre en valeur l’utilité du concept de fonction dans des situations issues de l’algèbre, de la géométrie, des sciences physiques, des disciplines professionnelles et de la vie économique et sociale. Les différentes phases sont à distinguer : description de la situation à l’aide d’une fonction, traitement mathématique, contrôle et exploitation des résultats.

Le programme combine les études qualitatives (croissance, allure des représentations graphiques, ...) avec des études quantitatives (recherche d’extremums, ...).

1 - Propriétés des fonctions

Les premiers éléments de l’étude d’une fonction et de sa courbe représentative ont été mis en place en BEP. Les fonctions usuelles de ce programme sont réinvesties dans des situations nouvelles, évitant ainsi les révisions systématiques.

Les fonctions sont définies sur un intervalle qui doit être indiqué. Dans certains cas, la fonction peut être définie sur une réunion d’intervalles ; on se ramène alors à une étude portant sur chacun de ces intervalles. Toute recherche à priori d’ensemble de définition est exclue.

Construction de la représentation graphique des fonctions f + g et l f, à partir des représentations graphiques des fonctions f et g.

Interprétation graphique de f ³ 0 et f ³ g.

Il n’y a pas lieu d’effectuer un exposé théorique au sujet du statut de la notion de fonction, des opérations algébriques et de la relation d’ordre sur les fonctions
 

Il faut s’assurer que les propriétés et la représentation graphique des fonctions telles que celles qui à x font correspondre ax + b, x², , , ,sin x, cos x sont connues

2 - Dérivation

La dérivation est une notion nouvelle. Il convient de l’aborder assez tôt pour pouvoir la pratiquer et l’exploiter dans des situations variées. Il est important de lier les aspects graphiques et numériques de la dérivation en un point.

a) Dérivation en un point

Tangente en un point à une courbe d’équation y = f(x).

La tangente en un point est considérée comme une notion intuitive obtenue graphiquement ;
elle n’a pas à être définie.

Nombre dérivé d’une fonction en a.

On définit le nombre dérivé de la fonction f en a comme le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse a ;
on le note f ’(a).

b) Fonction dérivée

Fonction dérivée d’une fonction, sur un intervalle :
- dérivée des fonctions x ® a, x ® x, x ® x² et
x ®

Les règles de calcul sont admises.
- dérivée de la fonction x ®
 , l’intervalle ne
contenant pas 0.
Dérivée d’une somme, d’un produit par une constante.

c) Application à l’étude du sens de variation d’une fonction

Si la fonction f admet une dérivée f ’ nulle sur l’intervalle I, alors la fonction f est constante sur cet intervalle. Si la fonction f admet une dérivée f ’ à valeurs positives (resp. négatives) sur l’intervalle I, alors la fonction f est croissante (resp. décroissante) sur cet intervalle.

Ces propriétés sont admises.

 

3 - Introduction des fonctions exponentielle et logarithme

Fonctions x ® ln x, x ® log x, x ® et x ® Propriétés opératoires.
Représentation graphique.

Les propriétés opératoires et le sens de variation de ces fonctions sont admis.

 

Champ des activités

Construction de la tangente en un point à une courbe à partir de son coefficient directeur.
Exemples d’étude de situations exploitant
- le sens de variation d’une fonction ;
- la représentation graphique d’une fonction ;
- un extremum sur un intervalle donné ;
- la comparaison à une constante : résolution de
f (x) = a ou f (x) > a ;

  

- la résolution graphique d’une équation du type
f (x) = g (x).

La résolution graphique d’une équation du type
f (x) = g (x) est limitée au cadre du paragraphe  " Activités numériques et graphiques ".

Exemples d’étude de situations conduisant à l’utilisation du papier "semi-log" en liaison avec les sciences physiques ou la technologie.

Aucune connaissance spécifique sur cette question n’est exigible.